Guía resuelta de Matemática 51 CBC Cátedra Gutierrez (Única)

Sea $f(x)=\ln \left(x^{2}-6 x+k\right)$. Hallar $k \in \mathbb{R}$ de modo que la pendiente de la recta tangente al grafico de $f$ en $x_{0}=4$ sea igual a 2.

EJERCICIO 6

Sea $f(x)=\frac{x}{5 x^{2}+a}$. Hallar $a \in \mathbb{R}$ para que la recta tangente al grafico de $f$ en el punto de abscisa $x_{0}=-1$ sea horizontal.

EJERCICIO 7

Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y dónde alcanza los extremos locales. Dar los correspondientes valores extremos y graficar $f$ aproximadamente.

a) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+7$

b) $f(x)=3 x^{5}-5 x^{3}+1$

EJERCICIO 8

Sea $f^{\prime}(x)=5 x^{3}-13 x^{2}-6 x$ la derivada de una función $f$. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.

EJERCICIO 9

Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.

a) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$

b) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$

c) $f(x)=\frac{-3 x}{x^{2}+4}$

d) $f(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}$

EJERCICIO 10

Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.

a) $f(x)=x^{4} e^{-x}$

b) $f(x)=\ln (2-x)$

c) $f(x)=e^{-x^{3}+12 x}$

d) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$

EJERCICIO 11

Sea $f(x)=x+2 \cos (x)$. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$ en el intervalo $[-\pi ; \pi]$. Hacer un gráfico aproximado.

EJERCICIO 12

Sea $f(x)=\frac{(5 x-k)^{2}}{x}, \operatorname{con} k \in \mathbb{R}$.

a) Hallar los valores de $k$ para los cuales $f$ tiene un punto crítico en $x=1$.

b) Para cada valor de $k$ hallado en a), determinar todos los extremos locales de $f$.

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