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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

EJERCICIO 1

Hallar la derivada de la función ff usando las reglas de derivación.

a) f(x)=3x+cos⁡(x)f(x)=3 x+\cos (x)
b) f(x)=xsen⁡(x)f(x)=x \operatorname{sen}(x)
c) f(x)=5x2−ln⁡(x)f(x)=5 x^{2}-\ln (x)
d) f(x)=ex−sen⁡(x)f(x)=e^{x}-\operatorname{sen}(x)
e) f(x)=(2x+3)exf(x)=(2 x+3) e^{x}
f) f(x)=(x4−3x3)ln⁡(x)f(x)=\left(x^{4}-3 x^{3}\right) \ln (x)
g) f(x)=3x2+xx4+3f(x)=\frac{3 x^{2}+x}{x^{4}+3}
h) f(x)=sen⁡(x)3x4+1f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{3 x^{4}+1}
EJERCICIO 2

Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de ff en el punto (x0,f(x0))(x_{0}, f(x_{0})) para el x0x_{0} dado.

a) f(x)=−2x2+13x−15f(x)=-2 x^{2}+13 x-15 en x0=3x_{0}=3
b) f(x)=2x−xf(x)=\frac{2}{x}-\sqrt{x} en x0=4x_{0}=4
EJERCICIO 3

Hallar la derivada de la función ff.

a) f(x)=sen⁡2(x)f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)
b) f(x)=(1+2x)10f(x)=\left(1+\frac{2}{x}\right)^{10}
c) f(x)=x2+x3f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+x}
d) f(x)=ln⁡(3x2+1)f(x)=\ln \left(3 x^{2}+1\right)
e) f(x)=ex2+xf(x)=e^{x^{2}+x}
f) f(x)=3cos⁡(2x)f(x)=3 \cos (2 x)
EJERCICIO 4

Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de ff en el punto (x0,f(x0))(x_{0}, f(x_{0})) para el x0x_{0} dado.

a) f(x)=2x−3f(x)=\sqrt{2 x-3} en x0=6x_{0}=6
b) f(x)=53x2+7f(x)=\frac{5}{3 x^{2}+7} en x0=0x_{0}=0
EJERCICIO 5

Sea f(x)=ln⁡(x2−6x+k)f(x)=\ln \left(x^{2}-6 x+k\right). Hallar k∈Rk \in \mathbb{R} de modo que la pendiente de la recta tangente al grafico de ff en x0=4x_{0}=4 sea igual a 2.

EJERCICIO 6

Sea f(x)=x5x2+af(x)=\frac{x}{5 x^{2}+a}. Hallar a∈Ra \in \mathbb{R} para que la recta tangente al grafico de ff en el punto de abscisa x0=−1x_{0}=-1 sea horizontal.

EJERCICIO 7

Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff y dónde alcanza los extremos locales. Dar los correspondientes valores extremos y graficar ff aproximadamente.

a) f(x)=3x4+4x3−12x2+7f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+7
b) f(x)=3x5−5x3+1f(x)=3 x^{5}-5 x^{3}+1
EJERCICIO 8

Sea f′(x)=5x3−13x2−6xf^{\prime}(x)=5 x^{3}-13 x^{2}-6 x la derivada de una función ff. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de ff.

EJERCICIO 9

Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de ff.

a) f(x)=x2x−1f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}
b) f(x)=x3(x−1)2f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}
c) f(x)=−3xx2+4f(x)=\frac{-3 x}{x^{2}+4}
d) f(x)=8−3xx2−2xf(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}
EJERCICIO 10

Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de ff.

a) f(x)=x4e−xf(x)=x^{4} e^{-x}
b) f(x)=ln⁡(2−x)f(x)=\ln (2-x)
c) f(x)=e−x3+12xf(x)=e^{-x^{3}+12 x}
d) f(x)=ln⁡(x)xf(x)=\frac{\ln (x)}{x}
EJERCICIO 11

Sea f(x)=x+2cos⁡(x)f(x)=x+2 \cos (x). Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de ff en el intervalo [−π;π][-\pi ; \pi]. Hacer un gráfico aproximado.

EJERCICIO 12

Sea f(x)=(5x−k)2x,con⁡k∈Rf(x)=\frac{(5 x-k)^{2}}{x}, \operatorname{con} k \in \mathbb{R}.

a) Hallar los valores de kk para los cuales ff tiene un punto crítico en x=1x=1.
b) Para cada valor de kk hallado en a), determinar todos los extremos locales de ff.

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